#单元测试：选修2-1第三章3.1《空间向量及其运算》

说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟．

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代

号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）．

1．在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若

A1B=a，A1D1=b，A1A=c.则下列向量中与B1M相等的向

量是（ ）

11abc 2211C．abc

22A．A．OM2OAOBOC C．MAMBMC0

''''11abc 2211D．abc

22B．

B．OM图 （ ）

2．在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是

111OAOBOC 532D．OMOAOBOC0

'03．已知平行六面体ABCDABCD中，AB=4，AD=3，AA5，BAD90，

BAA'DAA'600，则AC'等于

A．85

B．85

C．52

D．50

（ ）

4．与向量a(1,3,2)平行的一个向量的坐标是

（ ）

1，1，1） 313C．（－，，－1）

22A．（

B．（－1，－3，2） D．（2，－3，－22）

5．已知A（－1，－2，6），B（1，2，－6）O为坐标原点，则向量OA,与OB的夹角是（ ）

A．0

B．

 2C．

D．

3 2OBb，OCc，点M在OA上，且OM=2MA，N为6．已知空间四边形ABCD中，OAa，BC中点，则MN=

B．（ ）

121abc 232111C．abc

222A．211abc 322221D．abc

332ACAD0，ABAD0，7．设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足ABAC0，

则BCD是

A．钝角三角形

B．锐角三角形

C．直角三角形

D．不确定

（ ）

BC= 8．空间四边形OABC中，OB=OC，AOB=AOC=600，则cosOA，

A．

（ ）

1 2B．

2 2C．

1 2D．0

（ ）

9．已知A（1，1，1）、B（2，2，2）、C（3，2，4），则ABC的面积为

A．3

B．23

C．6

D．

6 2（ ）

10． 已知a(1t,1t,t),b(2,t,t)，则|ab|的最小值为

A．

5 5B．

55 5C．

35 5D．

11 5二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．

11．若a(2,3,1)，b(2,1,3)，则a,b为邻边的平行四边形的面积为 ． 12．已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别是对边OA、BC的中点，点G在

线段MN上，且MG2GN，现用基组OA,OB,OC表示向量OG，有

OG=xOAyOBzOC，则x、y、z的值分别为 ．

13．已知点A(1，2，11)、B(4，2，3)，C(6，1，4)，则ABC的形状是 ． 14．已知向量a(2,3,0)，b(k,0,3)，若a,b成1200的角，则k= ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)． 15．（12分）如图，已知正方体ABCDA'B'C'D'的棱长

为a，M为BD'的中点，点N在AC''上，且

A'MDCAxByzD'O'NB'C'|A'N|3|NC'|，试求MN的长．

16．（12分）如图在空间直角坐标系中BC=2，原点O是BC且∠BDC=90°，∠DCB=30°. （1）求向量OD的坐标；

（2）设向量AD和BC的夹角为θ，求cosθ的值

17．（12分）若四面体对应棱的中点间的距离都相等，证明这个体的对棱两两垂直．

18．（12分）四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是一个平行四边形，={2，－1，－4}，AD={4，2，0}，AP={－1，2，－1}. （1）求证：PA⊥底面ABCD； （2）求四棱锥P—ABCD的体积；

31,，0）的中点，点A的坐标是（，点D在平面yOz上，22四面

AB

图 （3）对于向量a={x1，y1，z1}，b={x2，y2，z2}，c={x3，y3，z3}，定义一种运算：

（a×b）·c=x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2－x1y3z2－x2y1z3－x3y2z1，试计算（AB×AD）·AP的绝对值的值；说明其与四棱锥P—ABCD体积的关系，并由此猜想向量这一运算（

AB×

AD）·AP的绝对值的几何意义.．

19．（14分）如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点. （1）求BN的长；

（2）求cos的值； （3）求证：A1B⊥C1M.

20．（14分）如图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°.

（1）证明：C1C⊥BD； （2）假定CD=2，CC1=弦值； （3）当

3，记面C1BD为α，面CBD为β，求二面角α—BD—β的平面角的余2CD的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明. CC1

参考答案

一、1．A；分析：

11B1MB1BBMA1A(BABC)=c+（－ab）=－

2211a+b+c．评述：用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本22题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力.

2．A；分析：空间的四点P、A、B、C共面只需满足OPxOAyOBzOC,且xyz1既可．只有选项A．

3．B；分析：只需将ACABADAA，运用向量的内即运算即可，|AC|AC．

24．C；分析：向量的共线和平行使一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式．即

b0,a//bab．

5．C；分析：cosab|a||b|，计算结果为－1．

6．B；分析：显然MNONOM12(OBOC)OA． 237．B；分析：过点A的棱两两垂直，通过设棱长使用余弦定理可得三角形为锐角三角形． 8．D；分析：建立一组基向量OA,OB,OC，再来处理OABC的值． 9．D；分析：使用向量的运算，显然cosAB,AC而得S10．C；

二、

11．65；分析：cosa,bABAC|AB||AC|sinAB,AC，从

1|AB||AC|sinAB,AC． 2352，得sina,b，可得结果．

77|a||b|ab12．

111OAOBOC； 633分析：

OGOMMG1212OAMNOA(ONOM)23231211OA[(OBOC)OA] 2322111OAOBOC63313．直角三角形；分析：利用两点间距离公式得：|AB||BC||AC|． 14．39；分析：cosa,b222ab|a||b|2k139k21，得k39．

2三、

15．解：以D为原点，建立如图空间直角坐标系．因为正方体棱长为a，所以B（a，a，0），A'（a，0，a），C'（0，a，a），D'（0，0，a）． 由于M为BD'的中点，取A'C'中点O'，所以M（

aaaaa，，），O'（，，a）．因为22222a3． |A'N|3|NC'|，所以N为A'C'的四等分，从而N为O'C'的中点，故N（，a，a）

44aaa3aa6|MN|()2()2(a)2a．

242424根据空间两点距离公式，可得

16．解：（1）过D作DE⊥BC，垂足为E，在Rt△BDC中,由∠BDC=90°,∠DCB=30°，BC=2，得BD=1，CD=

3，∴DE=CD·sin30°=

3. 2OE=OB－BE=OB－BD·cos60°=1－

11. 22∴D点坐标为（0，－

1313,），即向量OD[TX→]的坐标为{0，－,}. 222231,,0},OB{0,1,0},OC{0,1,0}， 2233,1,},BCOCOB{0,2,0}. 22（2）依题意：OA{所以ADODOA{设向量AD和BC的夹角为θ，则

330(1)201ADBC2210. cosθ=5|AD||BC|32322222()(1)()0202217． 证：如图设SAr1,SBr2,SCr3，则

SE,SF,SG,SH,SM,SN分别为

11r1，(r2r3)，221111(r1r2)，r3，(r1r3)，r2，由条件EH=GH=MN得： 2222(r2r3r12rrrrrr)(123)2(132)2 222展开得r1r2r2r3r1r3

∴r1(r3r2)0，∵r1≠0，r3r2≠0， ∴r1⊥（r3r2）即SA⊥BC． 同理可证SB⊥AC，SC⊥AB．

18． （1）证明：∵APAB=－2－2+4=0，∴AP⊥AB. 又∵APAD=－4+4+0=0，∴AP⊥AD.

∵AB、AD是底面ABCD上的两条相交直线，∴AP⊥底面ABCD. （2）解：设AB与AD的夹角为θ，则 cosθ=ABAD823

4116164105|AB||AD|V=

129|AB|·|AD|·sinθ·|AP|=105114116 33105（3）解：|（AB×AD）·AP|=|－4－32－4－8|=48它是四棱锥P—ABCD体积的3倍.

猜测：|（AB×AD）·AP|在几何上可表示以AB、AD、AP为棱的平行六面体的体积（或以AB、AD、AP为棱的直四棱柱的体积）.

评述：本题考查了空间向量的坐标表示、空间向量的数量积、空间向量垂直的充要条件、空间向量的夹角公式和直线与平面垂直的判定定理、棱锥的体积公式等.主要考查考生的运算能力，综合运用所学知识解决问题的能力及空间想象能力. 19．如图，建立空间直角坐标系O—xyz. （1）依题意得B（0，1，0）、N（1，0，1） ∴|BN |=

(10)2(01)2(10)23.

B1

图 （2）依题意得A1（1，0，2）、B（0，1，0）、C（0，0，0）、（0，1，2）

∴BA1={－1，－1，2}，CB1={0，1，2，}，BA1·CB1=3，|BA1|=

6，|CB1|=5

∴cos=BA1CB1130.

|BA1||CB1|10（3）证明：依题意，得C1（0，0，2）、M（

1111，A1B={－1，1，2}，C1M={,，,，2）

22220}.∴A1B·C1M=－

11+0=0，∴A1B⊥C1M，∴A1B⊥C1M. 22CDCB=b－a，

评述：本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识.考查空间两向量垂直的充要条件. 20．（1）证明：设CB=a，CD=b，CC1=c，则|a |=|b|，∵BD∴BD·CC1=（b－a）·c=b·c－a·c=|b|·|c|cos60°－|a|·|c|cos60°=0， ∴C1C⊥BD.

（2）解：连AC、BD，设AC∩BD=O，连OC1，则∠C1OC为二面角α—BD—β的平面角. ∵CO111(BCCD)（a+b），C1OCOCC1（a+b）－c 22211（a+b）·［（a+b）－c］ 22∴CO·C1O=

111（a2+2a·b+b2）－a·c－b·c 422133311（4+2·2·2cos60°+4）－·2·cos60°－·2·cos60°=. 4222223COC1O33，|C1O|=，∴cosC1OC= 2|CO||C1O|3=

则|CO|=

（3）解：设

2CD=x，CD=2， 则CC1=.

xCC1∵BD⊥平面AA1C1C，∴BD⊥A1C ∴只须求满足：A1CC1D=0即可. 设A1A=a，AD=b，DC=c， ∵A1C=a+b+c，C1D=a－c，

∴A1CC1D=（a+b+c）（a－c）=a2+a·b－b·c－c2=

42－6， 2xx令6－

2422=0，得x=1或x=－（舍去）.

3xx评述：本题蕴涵着转化思想，即用向量这个工具来研究空间垂直关系的判定、二面角的求解

以及待定值的探求等问题.