第２８卷第４期 ２ ０ １ ５年１ １月 青岛大学学报（自然科学版） ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＱＩＮＧＤＡＯ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ） Ｖｏ１．２８ Ｎｏ．４ ＮＯＶ．２ ０ １ ５ 文章编号：１００６—１０３７（２０１５）０４—００１２—０６ ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００６—１０３７．２０１５．１１．０４ 正项无穷级数求和的方法研究 张红锋 （江海职业技术学院，扬州２２５１０１） 摘要：基于对交错级数的余式误差界以及无穷级数和的估算，利用拉阿伯法、柯西法和库麦尔法 对级数的误差界进行了推导，给出了正项级数求和的一般方法，并以算例对其应用进行研究。 关键词：正项无穷级数；求和；余式误差界 中图分类号：Ｏ１７３ 文献标志码：Ａ 关于无穷级数收敛的判定，已经有了很多方法，但是除了一些极为特殊的情形，这些方法并不能精确计 算无穷级数的和。而余式误差界ｌ ｓ—ｓ ｌ能够在给定精确度要求下提供一个估算无穷级数和有效方法：仅 仅计算ｓ ，当 充分大时，能使Ｉ ｓ—ｓ Ｉ在一定的误差限度内给出ｓ的估算值。本文将判定正项级数收敛的 定理进行扩展，并进一步给出无穷级数和估算值。 １ 已有结论 １．１ 积分法 如果可由积分判别法证明级数∑ｎ 收敛，Ｊ 一Ｉ ｆ（ｘ）ｄｘ，则级数∑ｎ 的误差界对为 （｛Ｉ，ｎ ｝，｛Ｉ ）） 。 １．２ 极限比较法 设ｌｉｍ＿Ｕｎ＝Ｌ（Ｏ＜Ｌ＜ＣｘＤ），级数 ｂ 的误差界对为（｛Ｌ ｝、｛Ｕ ）），则有如下结论＿２］： ”— 。。 ＂ 一１ （１）如果｛ ｝递减至极限Ｌ，那么级数 。 的误差界对为（｛ＬＬ ｎ｝、｛ ‘ ））； （２）如果｛ ）递增至极限Ｌ，那么级数 ｎ 的误差界对为（｛ ’Ｌ”）、｛ＬＵ一））。 １．３ 比值法 如果ｌｉｍ竺 一ｒ＜１，对于Ａ 一— ， 一 （ 。＿１，如果ｎ充分大时有竺 ＜１，则有如下结论 ： 一。。口ｎ １ ａｎ＋ｌ ＼１一ｒ／ ｎ １ 一一 ａ” （ａ）如果｛ ）当ｋ＞ｎ是递减，则级数∑ａ 的误差界对为（｛Ｂ ｝、｛Ａ ｝）； （ｂ）如果｛ ）当ｋ＞他是递增，则级数∑ａ 的误差界对为（｛Ａ ｝、｛Ｂ ｝）。 ２ 主要结论 ２．１ 拉阿伯法 如果Ｉｉｍ（ａ一ｎ＋ｌ一１）一ｒ，（ｒ＞１，ｒ为常数），且当 充分大时 （ 一１）＞１，则有如下结论Ⅲ： 一。。 “＂ 、¨ｎ＋１ ， 收稿日期：２０１５ ０５ ２６ 通讯作者：张红锋，男，讲师，主要研究方向为高等数学微分方程。Ｅ—ｍａｉｌ：２７２６５４９１５８＠ｑｑ．ｃｏｍ 第４期 张红锋：正项无穷级数求和的方法研究 ａ”。ａ抖１ １３ （ａ）如果｛ｋ（ 一１））递减至极限ｒ，当ｋ＞ 时，级数’∑ｎ 的误差界对为ｆ｛ ‘‘｝ １ 一 、 ＆＂一口井１ ｝，｛ ）１，（取１ Ｇ ｝ ＋ ＜ｒ，ｄ为正数）； （ｂ）如果｛忌（ 一ｎ抖ｌ １）｝递增至极限ｒ，当ｋ＞，２时，级数∑ 口 的误差界对为ｆ｛＼ ｒ旦ｎ ），｛ ）１，， （取１＋ ＜ 一１ （ ， 为正数）。 证明：对于｛ｋ（ 一１））递减至极限ｒ，当 足够大时有 （ 一１）＞ｒ。取１＋ ＜ｒ， 为正数，则可作 ¨ １ 、“ １ ， 出如下证明 口 ＋１ 以 ＜（ Ｊ＼ ｌ＋ 可得 ＜（ ） 由此可得 ｓ一 一＜（筹 ｌ＋ａ＜（ ） … ∑ｎ ＜ （ ＞ ａ ｎ＋（ ｌ＋ａ ＋（ ）件 。 ＋ ∑ 一一（ ， ， ＋ ／将（ 可得 ＋ ＋ ＋…）记作（＊），那么则是 Ｌ 的和的余式部分，利用积分法 ｓ ｓ ＜ｊ√ｆ 。ｎ山。 １ ７出一。 １ｌ ￡ ｓ—ｓ ＜ 将结果代人（＊）式，可得 （１） 此外，设 ｆ—ａｎ ＼ａ抖１ —１）－１０，可得 口计ｌ一口 ＿ ［Ｄ十 因为｛是（ Ｌ一１））在忌＞ 时递减，可得 ｎ ＋１ 』Ｄ＞（ ＋１）（／ 一１ 进一步可得 ＞ ０＋ ＋１ ＞ ・ ｌＤ十 十１ ｌ一ｎ 南 Ｄ十 Ｊ＋１ ） 口十 口 ＞ａ （车所以 ｓ一 一Ｄ十 ）。… ＋口 ｆ＿＼ ∑ｎ ＞ａ （ ）＋ｎ”（ ） ＾＞” Ｄ ）。 （２） ～砉（南） 一 ＝＝ 口 —口 以， １ ｎ ＋ｌ 由式（１）和式（２）可知结论（ａ）成立。 同理可证结论（ｂ）成立。 １４ ２．２ 柯西法 青岛大学学报（自然科学版） 第２８卷 如果 ，７２２一ｒ，（其中ｒ＜１，ｒ为常数），令Ａ”一 —ｏ。 Ｉ—，Ｂ一一 ｒ １ 一一 ，那么有以下结论成立： （ａ）如果｛ ｝递减，那么级数∑ｎ 的误差界对为：（｛Ａ ）、｛Ｂ ））； （ｂ）如果｛ ｝递增，那么级数∑ａ 的误差界对为：（｛Ｂ ｝、｛Ａ ｝）。 证明：当 足够大时，由｛ 则有 Ｓ－－Ｓｎ一 女＞＂ ）递减至ｒ，可得 ＞ＦｎＺ－１＋ ＋．．一 ＝ ｋ １一 （３） 设７Ｚ－．一ｐ，则 口 一 ，ａｎ＋ｌ—ｌＤ计 ，… 所以 一 ｔＯｒｔ＋ｌ＋ 。＋．一 一高 由式（３）和式（４）可得结论（ａ）成立。 ㈩ 同理可证结论（ｂ）成立。 ２．３ 库麦尔法 对于正数数列｛ｃ ｝，如果ｌｉｍ（ｃ ｎ一。。＼ ａｎ１Ｃｎ－１—ａ， １ 一ｃ井 ）一ｋ＞０，设Ａ ＝：＝ （ｃ 口 一ｎ），Ｂ 一ｃ￣ａ ｏ－ａ（；Ｅ中，１０一 ， Ｄ 足 ‘ —一Ｃｎ，ｎ＝＝＝ｌｉｍｃ 口 ）则嘲 一ｃ计 ）递减至极限尼，则，级数∑ｎ 的误差界对为：（｛Ａ”｝，｛Ｂ”））；ｎ＝ｌ （１）如果｛ （２）如果｛Ｃｎ 一ｃ井 ｝递增至极限忌，则，级数∑ｎｎ的误差界对为：（｛Ｂｎ），｛Ａ ｝）。ｎ＝ｌ 证明：（１）如果｛ 一ｆ ｝递减至极限愚，当 足够大时，有ｃ 旦 —ｃ ＞ｋ，则有 Ｃｎａ 一 井１口 １＞ｋ・ａｎ－－１＞０ ｃ井１ｎ计１一ｃ井２乜计２＞ ・口 ２＞０ ｃ ，口 ，一ｃ 口 ＞忌‘口 ＞０ 将上式两边分别相加得 一 ＞ｋ・∑口 （ｍ一。。） ＞ ｍ—’。。 又ｃｎａ 一ｃ井 Ⅱ抖 ＞０，因此｛Ｃｎａ ）为正单调递减，且存在一有穷极限：ｌｉｍｃ ａ 一ａ，则有 ｓ－Ｓ －Ｓｎ一 一厶ａ ＜ ｐ ｃＣｎａ 一Ｃｍａｍ 一 一ｍ）一—— ｐ＞ｎ 。 一 （５） 设Ｃｎ－１一ａｎ Ｉ—ｃ 一ｐ，可得 ａ月 ’ ｃｎａ 一ｃ计１口计ｌ＜：ｐ’口井 ｃ升ｌ口井１一ｃ ２口井２＜：．Ｄ。以计 第４期 张红锋：正项无穷级数求和的方法研究 １５ ｃ什十２口 ２一ｃ科３口计３＜＜ｐ’ａｎ＋３ 上面各式两边相加得 ＜ｌＤ・∑口ｐ（ 一。。） ｐ＞ｎ 凼此 Ｓ－Ｓｎ一 ａ ＞古 ｎ一 一吉 ｎ～） 由式（５）和式（６）可得结论（１）成立。 同理可证结论（２）成立。 在正项级数收敛的判断方法中，库麦尔法是某些具体判别方法的推广，因此具有普遍的应用意义，在计 算级数和时，也具有同样的价值。例如，当ｃ 一１时，ｌｉｍ（ｃ 一Ｃｎ＋ ）一ｌｉｍ（ 一１）一志＞０，其等价于 ｎ一。。 “ ＋１ ”一。。“抖１ 比值法；当ｃ ＝＝＝，２时，ｌｉｍ（ｃ 一ｆ ）一ｌｉｍ［ （ 一１）一１］一志＞０，其等价于拉阿伯法。 ｎ一。。 “井１ 。。 “ １ ３ 应用举例 例１ 求级数＞：告７／ 的和并使结果的误差小于１０～。 解：利用积分判别法可得：Ｉ 一ＪＪ ’ Ｈ Ｚ ＺＩ ｎ ｄ ｌ一ｚ＝＝＝ ｎ 如果 ＝ 一 ＜０ ４ ＞１５６， 所以Ｓ属于［ ６＋Ｌ１ ５６， ６＋Ｕ１５６］， ２ ．２ ｆ￣ｑ￣Ａ Ｍ ＝ １５６ ｎｌｎ３ｎ＋巫 ＿８．２６３５４６４９１８。 例２ 对级数∑１的和进行估算，使误差小于 ｏ～。 ｎ＝ｌ 解：根据积分判别法可得 一ｆＪ ｎ。。 Ｚ ｄｚ一 因此要满足 二 一 ＜１０ 需要以≥７１，Ｍ 一 ７１ １＋—－７￣孚￣７１￣１—１．６４４９３５， 显然，此级数的和的精确值为：ｓ一百７（２。 利用这一值对估算结果精度进行验证：Ｓ一１．６４４９３４… 所以Ｓ属于［ ＋Ｌ ，Ｓ ＋Ｕ 。］。 例３ 求∑２ ｓｉｎ 的误差界对，并使级数和的误差在１。一 以内。 ｎ＝ｌ 解：ｎ 一２ ｓｉｎ ， 一（号） ，所以 一 ｌｉ—ｍ。ｓ—ｌｎ －一 ，且｛ ｝递减至极限Ｌ一 。 青岛大学学报（自然科学版） 第２８卷 利用积分判别法可以得到妻收敛，同时Ｌ一』 （＿詈＿） 一 ｌｎ３二ｌｎ２’ ｎ＝ｌ 瓢 ｎ ＝ｌ …… 盟ｌｎ３－－ｌｎ２ 再 有 ．＝ｌ 的谋善果… 盟 ｌｎ３－－ｌｎ２ … … 一２ ２ 、Ｉ ｎ３ —Ｉ ｎ２一 ｎ３ ｌ —ｌ ｎ２…、～ 一 ‘ ２ ， 一’ 由此可得 — ） Ｍ２ 一∑萎 ２ｎ ｓｉｎ １专＋＋丢ｃ （ ２ｌ￣１（一＂——ｌ ｎ３－ｌｎ２ 一 ７４６７ ９。。Ｊ—ｌ・９８６，４ｂ／ｌ ｕ。 －－－：： ． １ … … 例４ 求级数∑ｎ＝２ ｊｎ ｚ３的误差界对。 解：设ｎ一 ｌｉｍ 一ｌｉｍ 一∞一１（其中｛『－ａｎ）为递减至极限Ｌ一１ ６ ０” 一。。 。一利用积分法可知妻６ 收敛，因此有Ｉ ：ｆ。。１／ｚ号ｄ 一 ， ”一１ Ｊ √咒 所以可得级数妻６ 的误差界对为（ 百 ， ））， ｎ＝ｌ 稠｝匕值法可得级数∑ｎ＝ｌ 误差界对为（｛ 、／ １＿１ ｝，｛（圭 ２１一＿＝＿Ｖ 。 的误差界对。 例５ 求级数妻ｎ＝ｌ ｉｍ解：Ｎ￣ ｌ—。 （熹一１）一 ， 一＿薹＿一ｒ＞１，且｛ ＞ ｎ ＋１ ｝递减，根据拉阿伯法，设 一｛， 因此ｓ～＜ 同时 —ｓ ＞ ０”一二 ２ 丝二 ２ １ １ （６ｎ一１）（２ｎ一２）！！ 例６ 求级数妻（ ）”的误差界对，并使级数和的误差在１。一 以内。 ｎ＝ｌ解：因为ｌｉｍｎ 一０＜１，同时｛ ｝递减，利用柯西法可得Ｓ一５ ＞０， 此外，ｓ— ＜ Ｍ。一，若使 ＜１０－ｓ，￣１］ ≥６， 宴ｃ ＋ 一１．２９１２８６８６３９ ｏ 参考文献 ［１］Ｂａｒｔ Ｂｒａｄｅｎ．Ｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇ Ｓｕｍｓ ｏｆ Ｉｎｆｉｎｉｔｅ ＳｅｒｉｅｓＩ－Ｊ￣．Ａｍｅｒ．Ｍａｔｈ．Ｍｏｎｔｈｌｙ，１９９２，９９（７）：６４９—６５５ 第４期 张红锋：正项无穷级数求和的方法研究 １７ ［２］孙珍，李寿贵，张爱丽．关于无穷级数求和的研究［Ｊ］．数学杂志，２００９，（４）：４９０—４９２． ［３］和珍珍，王超．无穷级数求和的方法与技巧［Ｊ］．科教文汇（下旬刊），２０１０，（５）：９８—９９． ［４］蒋本荣．一些正项收敛级数求和的误差估计ＥＪ］．上海工程技术大学学报，１９９５，（３）：７７—８０ ［５］刘小宁．关于一类无穷级数的求和［Ｊ］．高等数学研究，２０１４，（３）：ｌ１—１２． Ｍｅｔｈｏｄ Ｒｅｓｅａｒｃｈ ｏｆ Ｓｕｍｍａｔｉｏｎ ｆｏｒ Ｐｏｓｉｔｉｖｅ Ｉｎｆｉｎｉｔｅ Ｓｅｒｉｅｓ ＺＨＡＮＧ Ｈｏｎｇ—ｆｅｎｇ （Ｊｉａｎｇｈａｉ Ｖｏｃａｔｉｏｎａｌ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｉｃａｌ Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｙａｎｇｚｈｏｕ，Ｙａｎｇｚｈｏｕ ２２５１０１，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｒｅｓｉｄｕａｌ ｅｒｒｏｒ ｂｏｕｎｄｓ ｏｆ ｔｙｐｅ ｏｆ ａｌｔｅｒｎａｔｉｎｇ ｓｅｒｉｅｓ ａｎｄ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｓｕｍｍａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｉｎｆｉｎｉｔｅ ｓｅｒｉｅｓ ａｎｄ ｅｒｒｏｒ ｂｏｕｎｄｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓｅｒｉｅｓ ａｒｅ ｄｅｄｕｃｅｄ，ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ Ｒａａｂｅ，Ｃａｕｃｈｙ ａｎｄ Ｌｉ ｂｒａｒｙ ｍｅｉｎ１．Ｇｅｎｅｒａｌ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｓｅｒｉｅｓ ｓｕｍｍａｔｉｏｎ ｉｓ ｇｉｖｅｎ，ａｎｄ ａｎ ｅｘａｍｐｌｅ ｏｆ ｉｔｓ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｉｓ ｄｉｓ— ｃｕｓｓｅｄ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｉｎｆｉｎｉｔｅ ｓｅｒｉｅｓ；ｓｕｍ；ｅｒｒｏｒ ｂｏｕｎｄｓ ｏｆ ｒｅｍａｉｎｄｅｒ （上接第１１页） Ａ Ｎｅｃｅｓｓａｒｙ Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｏｎ ｔｈｅ Ｉｎｔｅｇｅｒ Ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ Ｄｉｏｐｈａｎｔｉｎｅ Ｅｑｕａｔｉｏｎ Ｓ ＋４ｔ ＝ｐｒ ＬＩＵ Ｙｕａｎ—ｂｏ，ＸＵ Ｋｅ—ｊ ｉａｎ （Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｑｉｎｇｄａｏ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｑｉｎｇｄａｏ ２６６０７１，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｌｅｔ Ｐ ｂｅ ａ ｐｒｉｍｅ ｓａｔｉｓｆｙｉｎｇ ｐ＝ｌ（ｍｏｄ８），ａｎｄ ｌｅｔ户一Ａ ＋Ｂ ．Ｉｆ（５，ｒ，￡）ｉｓ ａｎ ｉｎｔｅｇｅｒ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ Ｄｉｏｐｈａｎｔｉｎｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｓ ＋４ｔ ＝ｐｒ ，ｔｈｅｎ ｇｃｄ（ｐｒ。＋２Ｂｔ ＋Ａｓ， ｒ ＋２Ｂｔ 一Ａｓ）一２ｄ ，ｗｈｅｒｅ ｄ ｉｓ ａ ｆａｅ— ｔｏｒ ｏｆ ｇｃｄ（Ａ，ｓ）． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｄｉｏｐｈａｎｔｉｎｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ；ｉｎｔｅｇｅｒ ｓｏｌｕｔｉｏｎ；ｅｕｉｐｔｉｃ ｃｕｒｖｅ